Central Limit Theory

Rata-rata sampel acak dari suatu populasi memiliki nilai yang diharapkan $\mu$ dan standar deviasi $\frac{\sigma }{\sqrt{(}n)}$ dengan $\mu$ dan $\sigma$ adalah parameter populasi.

library(dplyr)
library(haven)
library(here)
library(tidyverse)
library(ggplot2)
library(ggrepel)
library(stargazer)
library(visreg)
library(kableExtra)
library(reshape2)
library(fBasics)
library(questionr)
library(ggmosaic)
library(pander)
library(DescTools)
library(conf)

n <- 25; curve(dnorm(x, mean=0, sd=1/sqrt(n)), -3, 3,
xlab="x", ylab="Densities of sample mean", bty="l")
n <- 5; curve(dnorm(x, mean=0, sd=1/sqrt(n)), add=TRUE)
n <- 1; curve(dnorm(x, mean=0, sd=1/sqrt(n)), add=TRUE)

Normal parent population

Ketika sampel $X_1$, $X_2$, $X_3$,…, $X_n$ diperoleh dari populasi Normal ($\mu$, $\sigma$), $\overline{X}$ berdistribusi normal. Gambar diatas menunjukkan kepadatan populasi dan distribusi sampel dari $\overline{X}$ untuk n = 5 dan n = 25 ketika $\mu =0$ dan $\sigma =1$.

Dari gambar terlihat seiring betambahnya n, $\overline{X}$ semakin kecil. Jika ukuran sampel bertamah 4 kali lipat, maka standar deviasinya $\frac{1}{2}$ dari populasi.

Kepadatan terkonsentrasi pada mean. Semakin besar probablitas, nilai acak $\overline{X}$ semakin dekat dengan mean. Hal ini dikenal dengan hukum bilangan besar (law of large numbers). Misalnya tinggi wanita dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 65 inci dan standar deviasi 2,2 inci. Rata-rata 20 wanita dewasa dipilih secara acak dan diperoleh rata-rata yang sama tetapi standar deviasi lebih besar $\frac{1}{5}$ kali. Perbandingan probabilitas rata-rata antara sampel 64 dan 65 dengan individu adalah:

mu <- 65; sigma <- 2.2; n <- 20
pnorm(65, mu, sigma/sqrt(n)) - pnorm(64, mu, sigma/sqrt(n)) # rata-rata

[1] 0.4789631

pnorm(65, mu, sigma) - pnorm(64, mu, sigma) # individu

[1] 0.1752819

Non normal parent population

Central limit theory menyatakan bahwa setiap populasi induk (parent population) dengan rata-rata $\mu$ dan standar deviasi $\sigma$, distribusi sampel dari $\overline{X}$ untuj jumlah populasi (n) yang besar adalah

$$P\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le b\approx P(Z\le b)$$

Contoh:

Waktu yang dibutuhkan untuk mencuci mobil bervariasi. Checker mrmiliki rata-rata historis waktu mencuci satu jam per mobil, dengan standar deviasi satu jam. Jika terdapat 30 mobil yang dicuci, berapa probabilitas rata-rata mencuci mobil 0.9 jam atau kurang? Kami berasumsi bahwa setiap waktu mencuci memiliki populasi induk yang tidak ditentukan dengan $\mu =1$ dan $\sigma =1$, dan urutan waktu pencucian mobil acak, serta n cukup besar sehingga $\overline{X}$ kira-kira berdistribusi Normal($\mu ,\sigma /\sqrt{30}$). Sehingga $P(\overline{X}\le 0.9)$ adalah

pnorm(0.9, mean=1, sd = 1/sqrt(20))

[1] 0.3273604

Tredapat konsekuensi lain dari teorema limit pusat. Misalnya jika kami mengganti $\sigma$ dengan standar deviasi sampel $s$ dan $\overline{X}$ distandarisasi maka

$$P\frac{\overline{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}\le b\approx P(Z\le b)$$